在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過M,F(xiàn),O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的距離為
3
4

(1)求拋物線C的方程.
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)依題意知F(0,
p
2
),由題意知
3p
4
=
3
4
,由此能求出拋物線C的方程.
(2)假設(shè)存在點M(x0,
x02
2
),(x0>0)滿足條件,由導數(shù)的幾何意義得直線MQ的方程為y-
x02
2
=x0(x-x0).令y=
1
4
得Q(
x0
2
+
1
4x0
,
1
4
),由|QM|=|OQ|,推導出存在點M(
2
,1),使得直線MQ與拋物線C相切于點M.
解答: 解:(1)依題意知F(0,
p
2
),
圓心Q在線段OF的垂直平分線y=
p
4
上.
因為拋物線C的準線方程為y=-
p
2
,
所以
3p
4
=
3
4
,即p=1.
因此拋物線C的方程為x2=2y.
(2)假設(shè)存在點M(x0,
x02
2
),(x0>0)滿足條件,
拋物線C在點M處的切線斜率為y′|x=x0=(
x2
2
)′| x=x0=x| x=x0=x0,
所以直線MQ的方程為y-
x02
2
=x0(x-x0).
令y=
1
4
得xQ=
x0
2
+
1
4x0

∴Q(
x0
2
+
1
4x0
,
1
4

又|QM|=|OQ|,
(
1
4x0
-
x0
2
)2
+(
1
4
-
x02
2
2=(
1
4x0
+
x0
2
2+
1
16

∴(
1
4
-
x02
2
2=
9
16
,
又x0>0,所以x0=
2
,此時M(
2
,1).
故存在點M(
2
,1),使得直線MQ與拋物線C相切于點M.
點評:本題考查拋物線方程的求法,考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法,解題時要認真審題,注意導數(shù)的幾何意義的合理運用.
練習冊系列答案
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2
,4),求橢圓的標準方程.

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5

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2
,BB1=
3
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a
x+1
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160
x
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