Question

如圖：四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，AB=AC=2PA=2，PC=

5

．
AD∥BC，∠BAD=150°．
（Ⅰ）證明：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面PAC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由勾股定理得PA⊥AC，又PA⊥AD，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為h．由V_P-ABC=V_B-PAC，利用等積法能求出點(diǎn)B到平面PAC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镻A=1，AC=2，PC=

5

…（1分）
所以PC²=PA²+AC²．
所以PA⊥AC…（3分）   
又因?yàn)镻A⊥AD，且AD∩AC=A…（4分）
所以PA⊥平面ABCD…（5分）
（Ⅱ）解：取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，
設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為h．
由（Ⅰ）PA⊥平面ABCD，
所以VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PA．…（6分）
因?yàn)椤螧AD=150°，AD∥BC，所以∠ABC=30°．
又因?yàn)锳B=AC=2，所以BC=2

3

，AE=1．…（7分）
所以VP-ABC=

1

3

×

1

2

×2

3

×1×1=

3

3

…8 分
又V_P-ABC=V_B-PAC，
所以VB-PAC=

1

3

×S△PAC×h=

3

3

…（10分）
而AC=2，PA=1，知S△PAC=

1

2

×2×1=1，…（11分）
所以

1

3

×1×h=

3

3

，所以h=

3

，
所以點(diǎn)B到平面PAC的距離h=

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意認(rèn)真審題，注意等積法的合理運(yùn)用．