Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=ln$\frac{1}{{a}^{4}x}$-x²+ax（a＞0）．
（1）若f（x）在定義域上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)x₁，x₂為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，求f（x₁）+f（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，設(shè)g（x）=2x²-ax+1，利用判別式，可得a的取值范圍；
（2）利用韋達(dá)定理表示出f（x₁）+f（x₂），利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，即可求f（x₁）+f（x₂）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$（x＞0，a＞0）
設(shè)g（x）=2x²-ax+1．
①△=a²-8≤0，即0＜a≤2$\sqrt{2}$時(shí)，g（x）≥0恒成立，∴f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
②△＞0，即a＞2$\sqrt{2}$時(shí)，g（x）=0在（0，+∞）上有兩相異實(shí)根，
∴f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，不合題意，
綜上，0＜a≤2$\sqrt{2}$；
（2）由（1）知，x₁，x₂為2x²-ax+1=0的兩根，x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$
∴f（x₁）+f（x₂）=ln$\frac{1}{{a}^{4}{x}_{1}}$-x₁²+ax₁+ln$\frac{1}{{a}^{4}{x}_{2}}$-x₂²+ax₂=ln2-8lna+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1．
設(shè)h（a）=ln2-8lna+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，則h′（a）=$\frac{（a+4）（a-4）}{2a}$，
∴h（a）在（2$\sqrt{2}$，4）上單調(diào)遞減，在（4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（a）_min=h（4）=5-15ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）的最小值為5-15ln2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．