分析 設(shè)出點P坐標(biāo),以兩橢圓上兩切點坐標(biāo),先用切點坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法表示出兩條切線方程,代入點P的坐標(biāo)后根據(jù)同一性得出切點弦AB所在直線的方程是$\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1$,將切點弦直線的斜率用兩種方式表示出來,再根據(jù)利用同一性得出等式,確定出直線OP與切點弦AB的交點為線段AB的交點為線段AB的中點M(x,y),從而建立起方程組 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}x}{{x}_{0}}}\\{\frac{{x}_{0}}{12}+\frac{{y}_{0}}{8}=1}\end{array}\right.$,得出點M的坐標(biāo)所滿足的方程,即所求的軌跡方程.
解答 解:設(shè)直線l上一點P(x0,y0),切點坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的點坐標(biāo)為M(x,y),
∴$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
則切線PA方程為$\frac{{x}_{1}x}{24}+\frac{{y}_{1}y}{16}=1$,切線PB的方程是$\frac{{x}_{2}x}{24}+\frac{{y}_{2}y}{16}=1$
將P(x0,y0)代入得,$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}{x}_{0}}{24}+\frac{{y}_{1}{y}_{0}}{16}=1}\\{\frac{{x}_{2}{x}_{0}}{24}+\frac{{y}_{2}{y}_{0}}{16}=1}\end{array}\right.$,
∴切點弦AB所在直線的方程是$\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1$
①當(dāng)x0,y0都不為0時,有KAB=$-\frac{{2}x_{0}}{3{y}_{0}}$,
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{2}x_{0}}{3{y}_{0}}$,又A,B兩點在橢圓上,有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}{\;}^{2}}{24}+\frac{{y}_{1}{\;}^{2}}{16}=1}\\{\frac{{x}_{2}{\;}^{2}}{24}+\frac{{y}_{2}{\;}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$,
相減得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{2}{3}$,∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$,即KOM=KOP,
∴直線OP與切點弦AB的交點為線段AB的交點為線段AB的中點M(x,y)
②x0,y0都為0時,上述結(jié)論KOM=KOP也是成立的.
聯(lián)立方程組 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}x}{{x}_{0}}}\\{\frac{{x}_{0}}{12}+\frac{{y}_{0}}{8}=1}\end{array}\right.$,得$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{16}=\frac{x}{12}+\frac{y}{8}$,
化簡整理得$\frac{(x-1)^{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{(y-1)^{2}}{\frac{5}{3}}=1$
所以點M的軌跡是以(1,1)為中心,長短半軸長分別為$\frac{\sqrt{10}}{2},\frac{\sqrt{15}}{3}$,且長軸與x軸平行的橢圓(去掉坐標(biāo)原點)
點評 本題考查了直線與橢圓的綜合問題,曲線外一條直線上的一點作出曲線的兩條切線,研究兩切點弦所在直線方程問題常用同一性,這是本題解答的關(guān)鍵,得出KOM=KOP,確定出點M的具體位置以利于建立方程組得軌跡方程,此種思路在求軌跡方程的題中也經(jīng)常用到,要通過本題仔細(xì)體會這一規(guī)律.本題屬于難題中的難題,要認(rèn)真總結(jié)其規(guī)律,以利于在以后答題過程中參考.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{32}{3}$,-6 | B. | $\frac{32}{3}$,0 | C. | 6,-$\frac{32}{3}$ | D. | 6,0 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com