2.從直線l:$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1上任意一點P向橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1引切線PA,PB,切點分別為A,B,試求線段AB中點M的軌跡方程.

分析 設(shè)出點P坐標(biāo),以兩橢圓上兩切點坐標(biāo),先用切點坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法表示出兩條切線方程,代入點P的坐標(biāo)后根據(jù)同一性得出切點弦AB所在直線的方程是$\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1$,將切點弦直線的斜率用兩種方式表示出來,再根據(jù)利用同一性得出等式,確定出直線OP與切點弦AB的交點為線段AB的交點為線段AB的中點M(x,y),從而建立起方程組 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}x}{{x}_{0}}}\\{\frac{{x}_{0}}{12}+\frac{{y}_{0}}{8}=1}\end{array}\right.$,得出點M的坐標(biāo)所滿足的方程,即所求的軌跡方程.

解答 解:設(shè)直線l上一點P(x0,y0),切點坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的點坐標(biāo)為M(x,y),
∴$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
則切線PA方程為$\frac{{x}_{1}x}{24}+\frac{{y}_{1}y}{16}=1$,切線PB的方程是$\frac{{x}_{2}x}{24}+\frac{{y}_{2}y}{16}=1$
將P(x0,y0)代入得,$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}{x}_{0}}{24}+\frac{{y}_{1}{y}_{0}}{16}=1}\\{\frac{{x}_{2}{x}_{0}}{24}+\frac{{y}_{2}{y}_{0}}{16}=1}\end{array}\right.$,
∴切點弦AB所在直線的方程是$\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1$
①當(dāng)x0,y0都不為0時,有KAB=$-\frac{{2}x_{0}}{3{y}_{0}}$,
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{2}x_{0}}{3{y}_{0}}$,又A,B兩點在橢圓上,有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}{\;}^{2}}{24}+\frac{{y}_{1}{\;}^{2}}{16}=1}\\{\frac{{x}_{2}{\;}^{2}}{24}+\frac{{y}_{2}{\;}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$,
相減得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{2}{3}$,∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$,即KOM=KOP
∴直線OP與切點弦AB的交點為線段AB的交點為線段AB的中點M(x,y)
②x0,y0都為0時,上述結(jié)論KOM=KOP也是成立的.
聯(lián)立方程組 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}x}{{x}_{0}}}\\{\frac{{x}_{0}}{12}+\frac{{y}_{0}}{8}=1}\end{array}\right.$,得$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{16}=\frac{x}{12}+\frac{y}{8}$,
化簡整理得$\frac{(x-1)^{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{(y-1)^{2}}{\frac{5}{3}}=1$
所以點M的軌跡是以(1,1)為中心,長短半軸長分別為$\frac{\sqrt{10}}{2},\frac{\sqrt{15}}{3}$,且長軸與x軸平行的橢圓(去掉坐標(biāo)原點)

點評 本題考查了直線與橢圓的綜合問題,曲線外一條直線上的一點作出曲線的兩條切線,研究兩切點弦所在直線方程問題常用同一性,這是本題解答的關(guān)鍵,得出KOM=KOP,確定出點M的具體位置以利于建立方程組得軌跡方程,此種思路在求軌跡方程的題中也經(jīng)常用到,要通過本題仔細(xì)體會這一規(guī)律.本題屬于難題中的難題,要認(rèn)真總結(jié)其規(guī)律,以利于在以后答題過程中參考.

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