Question

近年來，我國許多地方出現(xiàn)霧霾天氣，影響了人們的出行、工作與健康．其形成與 PM2.5有關(guān)．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．PM2.5日均值越小，空氣質(zhì)量越好．為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，我國國家環(huán)保部于2012年2月29日，發(fā)布了《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》見下表：

PM2.5日均值k（微克）	空氣質(zhì)量等級(jí)
k≤35	一級(jí)
35＜k≤75	二級(jí)
k＞75	超標(biāo)

某環(huán)保部門為了了解甲、乙兩市的空氣質(zhì)量狀況，在某月中分別隨機(jī)抽取了甲、乙兩市6天的 PM2.5日均值作為樣本，樣本數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（Ⅰ）求甲、乙兩市PM2.5日均值的樣本平均數(shù)，據(jù)此判斷該月中哪個(gè)市的空氣質(zhì)量較好；
（Ⅱ）若從甲市這6天的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩天的數(shù)據(jù)，求恰有一天空氣質(zhì)量等級(jí)為一級(jí)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）分別甲、乙兩市PM2.5日均值的樣本的和除以樣本數(shù)量，求出樣本的平均數(shù)即可；結(jié)合《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》表，判斷該月中哪個(gè)市的空氣質(zhì)量較好即可；
（Ⅱ）列舉出甲市這6天的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩天的所有情況，以及“恰有一天空氣質(zhì)量等級(jí)為一級(jí)”這個(gè)事件包含的情況，后者除以前者，求出恰有一天空氣質(zhì)量等級(jí)為一級(jí)的概率即可．

解答： 解析：（Ⅰ）甲市抽取的樣本數(shù)據(jù)分別是32，33，34，46，62，69，
乙市抽取的樣本數(shù)據(jù)分別是34，38，51，61，63，71，

.

x

甲=

32+33+34+46+62+69

6

=46，

.

x

乙=

34+38+51+61+63+71

6

=53；
因?yàn)?span id="rjm843b" class="MathJye">

.

x

甲＜

.

x

乙，
所以甲市的空氣質(zhì)量較好．
（Ⅱ）由莖葉圖知，甲市6天中有3天空氣質(zhì)量等級(jí)為一級(jí)，有3天空氣質(zhì)量等級(jí)為二級(jí)，
空氣質(zhì)量等級(jí)為一級(jí)的三天數(shù)據(jù)為a₁，a₂，a₃，空氣質(zhì)量等級(jí)為二級(jí)的3天數(shù)據(jù)為b₁，b₂，b₃，
則6天中抽取兩天的所有情況為：a₁a₂，a₁a₃，a₁b₁，a₁b₂，a₁b₃，a₂a₃，a₂b₁，a₂b₂，a₂b₃，a₃b₁，a₃b₂，a₃b₃，b₁b₂，b₁b₃，b₂b₃．
即基本事件總數(shù)為15；                                                  
記“恰有一天空氣質(zhì)量等級(jí)為一級(jí)”為事件A，
則事件A包含的基本事件為：a₁b₁，a₁b₂，a₁b₃，a₂b₁，a₂b₂，a₂b₃，a₃b₁，a₃b₂，a₃b₃，
即事件A包含的事件數(shù)為9；                                                           
所以P(A)=

9

15

=

3

5

，
即恰有一天空氣質(zhì)量等級(jí)為一級(jí)的概率為

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了概率的求法，考查了樣本平均數(shù)的求法，以及學(xué)生的分析推理能力和運(yùn)算能力，解答此題的關(guān)鍵是要弄清楚兩點(diǎn)：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)；二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小．