Question

4．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角，且0＜α＜π）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求△ABF的周長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)E（-1，0）恰為線段AB的三等分點(diǎn)，求△ABF的面積．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用同角的平方關(guān)系和代入法，化參數(shù)方程為普通方程，再由橢圓的定義，即可得到所求三角形ABF的周長(zhǎng)；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理和三等分點(diǎn)，求得|y₁-y₂|，進(jìn)而運(yùn)用三角形的面積公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$化為普通方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
直線L：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$化為普通方程為y=tanα•（x+1），
直線恒過橢圓的左焦點(diǎn)F'（-1，0），
由橢圓的定義可得，△ABF的周長(zhǎng)為|AF'|+|AF|+|BF'|+|BF|=4a=4$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入橢圓方程，消去x，可得（2+cot²α）y²-2cotα•y-1=0，
則y₁+y₂=$\frac{2cotα}{2+co{t}^{2}α}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+co{t}^{2}α}$，①
點(diǎn)E（-1，0）恰為線段AB的三等分點(diǎn)，即有2y₁=-y₂，②
解得cotα=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
則△ABF的面積為S=$\frac{1}{2}$|FF'|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程和普通方程的互化，同時(shí)考查橢圓的定義和直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．