Question

20．若3^2+2x-3${\;}^{{x}^{2}+x}$＞（$\frac{1}{4}$）^2+2x-（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{x}^{2}+x}$，則x的取值范圍是（-1，2）．

Answer 1

分析 先將不等式化為：3^2+2x-（$\frac{1}{4}$）^2+2x＞${3}^{x^2+x}$-$（\frac{1}{4}）^{x^2+x}$，再構(gòu)造函數(shù)F（t）=${3}^{t}-（\frac{1}{4}）^{t}$，運用該函數(shù)的單調(diào)性解原不等式．

解答 解：∵3^2+2x-${3}^{x^2+x}$＞（$\frac{1}{4}$）^2+2x-$（\frac{1}{4}）^{x^2+x}$，
∴3^2+2x-（$\frac{1}{4}$）^2+2x＞${3}^{x^2+x}$-$（\frac{1}{4}）^{x^2+x}$，（*）
觀察知，不等式兩邊結(jié)構(gòu)相同，
故構(gòu)造函數(shù)F（t）=${3}^{t}-（\frac{1}{4}）^{t}$，F(xiàn)（t）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
而（*）式可以寫成，F(xiàn)（2+2x）＞F（x²+x），
根據(jù)F（x）單調(diào)遞增得，2+2x＞x²+x，
即x²-x-2＜0，解得x∈（-1，2），
故答案為：（-1，2）．

點評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在解不等式問題中的應(yīng)用，涉及函數(shù)的構(gòu)造和單調(diào)性的判斷，以及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．