Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，若存在兩項a_m，a_n，使得

aman

=4a₁，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：正項等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，由于存在兩項a_m，a_n，使得

aman

=4a₁，可得

a1•2m-1×a1•2n-1

=4a₁，化為m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：正項等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，
∵存在兩項a_m，a_n，使得

aman

=4a₁，
∴

a1•2m-1×a1•2n-1

=4a₁，
∵a₁≠0，
∴2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6．
則

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時取等號．
∴

1

m

+

4

n

的最小值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．