Question

5．設(shè)直線x=t與兩數(shù)f（x）=x²+1，g（x）=x+lnx的圖象分別交于P，Q兩點(diǎn)，則|PQ|的最小值為1．

Answer 1

分析 將兩個(gè)函數(shù)作差，得到函數(shù)y=f（x）-g（x），再求此函數(shù)的最小值即可得到|PQ|最小值．

解答 解：設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）=x²-x-lnx+1，函數(shù)的定義域（0，+∞），
求導(dǎo)數(shù)得y′=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)在（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，函數(shù)在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)x=1時(shí)，所設(shè)函數(shù)的最小值為1，
所以|PQ|最小值為1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．