4.在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分別是CC1、BC,CD的中點,O為底面ABCD的中心.
(1)求證:A1P⊥MN;
(2)求證:OM⊥平面A1BD;
(3)求證:平面MNP∥平面B1D1A.

分析 (1)以A為坐標(biāo)原點,建立空間坐標(biāo)系,分別求出A1P和MN的方向向量,進(jìn)而可證得:A1P⊥MN;
(2)利用向量法,可得$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}B}$,$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$,結(jié)合線面垂直的判定定理可得:OM⊥平面A1BD;
(3)利用三角形的中位線性質(zhì)及公理4,證明PN∥BD,證得PN∥面A1DB.同理可證MN∥面A1DB,再由PN 和MN 是平面MNP內(nèi)的兩條相交直線,利用平面和平面平行的判定定理證得結(jié)論成立.

解答 解:以A為坐標(biāo)原點,建立空間坐標(biāo)系如下圖所示:

證明:(1)則A1(0,0,1),P($\frac{1}{2}$,1,0),M(1,1,$\frac{1}{2}$),N(1,$\frac{1}{2}$,0),
則$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=($\frac{1}{2}$,1,-1),$\overrightarrow{MN}$=(0,-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{2}$),
故$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{MN}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0,
故$\overrightarrow{{A}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{MN}$,
即A1P⊥MN;
(2)∵O($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),B(1,0,0),D(0,1,0),
∴$\overrightarrow{OM}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=(1,0,-1),$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=(0,1,-1),
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0,$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0,
故$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}B}$,$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$,
即OM⊥A1B且OM⊥A1D,
又∵A1B,A1D?平面A1BD,A1B∩A1D=A1
∴OM⊥平面A1BD;
(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是C1C,B1C1,C1D的中點,連接B1D1,B1C,
∵PN∥B1D1,BD∥B1D1 ,
∴PN∥BD.
而BD?面A1BD,PN?面A1DB,
∴PN∥面A1DB.
同理可證MN∥面A1DB.
再由PN 和MN 是平面MNP內(nèi)的兩條相交直線可得平面MNP∥平面A1BD

點評 本題考查的知識點直線垂直的判定,直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定,是空間直線與平面位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,難度中檔.

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其中x叫做$\overrightarrow{a}$在x軸上的坐標(biāo),y叫做$\overrightarrow{a}$在y軸上的坐標(biāo),②式叫做向量的坐標(biāo)也為(x,y).特別地,$\overrightarrow{i}$=(1,0),$\overrightarrow{j}$=(0,1),$\overrightarrow{0}$=(0,0).
如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以原點O為起點作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,則點A的位置由a唯一確定.
設(shè)$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$,則向量$\overrightarrow{OA}$的坐標(biāo)(x,y)就是點A的坐標(biāo);反過來,點A是坐標(biāo)(x,y)也是向量$\overrightarrow{OA}$的坐標(biāo).因此,在平面直角坐標(biāo)系中,每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.

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