Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x-1|（m∈R）．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求不等式f（x）≤2的解集；
（2）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集為A，且[1，2]⊆A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=-1時(shí)，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即-2≤x+m≤2 恒成立，即-x-2≤m≤2-m 恒成立，由此可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-1|，不等式f（x）≤2，即|x-1|+|2x-1|≤2，
故有$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-x+1-2x≤2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x≤1}\\{1-x+2x-1≤2}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+2x-1≤2}\end{array}\right.$ ③．
解①求得0≤x＜$\frac{1}{2}$，解②求得$\frac{1}{2}$≤x≤1，解③求得1＜x≤$\frac{4}{3}$．
綜上可得，不等式f（x）≤2的解集為{x|0≤x≤$\frac{4}{3}$}．
（2）由題意可得，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|恒成立，即|x+m|≤（2x+1）-（2x-1）=2 恒成立，
∴-2≤x+m≤2 恒成立，即-x-2≤m≤2-m 恒成立，∴-3≤m≤0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-3，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．