Question

7．如圖四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=3BC，過(guò)A₁，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB₁與α的交點(diǎn)為Q，則以下四個(gè)結(jié)論：
①Q(mào)C∥A₁D②B₁Q=2QB；③直線A₁B與直線CD相交；④四棱柱被平面α分成的上下兩部分的體積相等．其中正確的有①②．

Answer 1

分析 ①由于平面BCB₁C₁∥平面ADD₁A₁，即可判斷出正誤；
②如圖所示，設(shè)A₁Q∩DC=E點(diǎn)，則E點(diǎn)也在AB的延長(zhǎng)線上，利用A₁B₁∥AB，BC∥AD，可得$\frac{{B}_{1}Q}{BQ}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{BE}$=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AD-BC}{BC}$=$\frac{2}{1}$，即可判斷出正誤；
③直線A₁B與直線CD是異面直線，即可判斷出正誤；
④如圖所示，設(shè)S₁=${S}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=BC•BB₁．可得：S_△BCQ=$\frac{1}{6}$S₁，${S}_{△AD{A}_{1}}$=$\frac{3}{2}$S₁．分別計(jì)算出${V}_{BCQ-AD{A}_{1}}$=$\frac{13}{18}{S}_{1}h$，（h為平面BCC₁B₁與平面ADD₁A₁之間的距離），${V}_{BC{C}_{1}{B}_{1}-AD{D}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{13}{3}{S}_{1}h$，即可判斷出正誤．

解答 解：①∵平面BCB₁C₁∥平面ADD₁A₁，平面BCB₁C₁∩α=CQ，α∥平面ADD₁A₁=A₁D，∴QC∥A₁D，正確；
②如圖所示，設(shè)A₁Q∩DC=E點(diǎn)，則E點(diǎn)也在AB的延長(zhǎng)線上，∵A₁B₁∥AB，BC∥AD，∴$\frac{{B}_{1}Q}{BQ}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{BE}$=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AD-BC}{BC}$=$\frac{2}{1}$，∴B₁Q=2QB，正確；
③直線A₁B與直線CD是異面直線，不可能相交，因此不正確；
④如圖所示，設(shè)S₁=${S}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=BC•BB₁．S_△BCQ=$\frac{1}{2}BQ•BC$=$\frac{1}{6}$S₁，${S}_{△AD{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}AD•A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×3BC•$3QB=9×$\frac{1}{6}{S}_{1}$=$\frac{3}{2}$S₁．
${V}_{BCQ-AD{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{6}{S}_{1}+\sqrt{\frac{1}{6}{S}_{1}•\frac{3}{2}{S}_{1}}+\frac{3}{2}{S}_{1}）$•H=$\frac{13}{18}{S}_{1}h$，（h為平面BCC₁B₁與平面ADD₁A₁之間的距離）．${V}_{BC{C}_{1}{B}_{1}-AD{D}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+\sqrt{{S}_{1}•9{S}_{1}}+9{S}_{1}）$•h=$\frac{13}{3}{S}_{1}h$，因此四棱柱被平面α分成的上下兩部分的體積不相等，不正確．
綜上可得：只有①②正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系及其判定、體積計(jì)算公式、平行線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．