Question

已知數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n：a_n+3S_n=1，b_n+10=3log

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an（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）若c_n=a_n•b_n，則是否存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比數(shù)列，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）求出c_n=a_n•b_n的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a_n+3S_n=1，∴a_n+1+3S_n+1=1，
兩式相減得a_n+1-a_n+3（S_n+1-S_n）=0
a_n+1-a_n+3a_n+1=0，
則a_n+1=

1

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a_n，
則數(shù)列{a_n}是公比q=

1

4

的等比數(shù)列，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+3S₁=1，解得a₁=

1

4

，
則a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=（

1

4

）ⁿ．
（2）∵b_n+10=3log

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an=3n，
∴b_n=3n-10，
則b_n-b_n-1=3，
則數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差d=3，首項(xiàng)b₁=-7．
（3）∵b_n=3n-10，c_n=a_n•b_n，
∴c_n=（3n-10）•（

1

4

）ⁿ，
則c_k=（3k-10）•（

1

4

）^k，
c_k+1=（3k-7）•（

1

4

）^k+1，c_k+2=（3k-4）•（

1

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）^k+2，
若存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比數(shù)列，
則滿(mǎn)足c_k+1²=c_kc_k+2，
即[(3k-7)•(

1

4

)k+1]2=（3k-10）•（

1

4

）^k）（3k-4）•（

1

4

）^k+2，
即（3k-7）²•（

1

4

）^2k+2=（3k-10）•（3k-4）•（

1

4

）^2k+2，
則（3k-7）²=（3k-10）•（3k-4），
展開(kāi)得49=40，方程不成立，
即k不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．