Question

3．（1）當(dāng)a＞1時(shí)，證明函數(shù)y=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$是奇函數(shù)．
（2）設(shè)a是實(shí)數(shù)，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．試確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先判斷定義域是否對(duì)稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，
（2）令f（-x）=-f（x）恒成立解出a．

解答 解；（1）由函數(shù)有意義得a^x-1≠0，∴x≠0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
令f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$，則f（-x）=$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{-x}-1}$=$\frac{1+{a}^{x}}{1-{a}^{x}}$=-f（x），
∴函數(shù)y=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$是奇函數(shù)．
（2）若f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立．
∴a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-a+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，即2a=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=2，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及判斷，屬于基礎(chǔ)題．