Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象在點(diǎn)x=1處的切線l為直線3x-y-1=0，T_n=f（n）為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₅的值為（　　）

• A． $\frac{2010}{2011}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線在x=1處的斜率，由等差數(shù)列可得c=0，然后根據(jù)切線的方程可求a，b，代入可求f（n），利用裂項(xiàng)求和即可求得結(jié)論．

解答 解：由f（x）=ax²+bx+c，求導(dǎo)得：f′（x）=2ax+b，
∵在點(diǎn)x=1處的切線l為直線3x-y-1=0，
∴f′（1）=2a+b=3，f（1）=a+b+c=2，
由題意可得c=0，a=b=1，
∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅的值為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法，屬于中檔題．