Question

5．已知橢圓C經(jīng)過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），兩焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）
（1）求橢圓C的標準方程
（2）已知點A（0，-1），直線l與橢圓C交于兩點M，N，若△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）通過焦點坐標可設(shè)橢圓C的標準方程且a²-b²=3，將點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程，計算即得結(jié)論；
（2）通過△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形可得直線l與x軸平行，利用k_AM•k_AN=-1計算即可．

解答 解：（1）∵兩焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
∴可設(shè)橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），a²-b²=3，①
又∵橢圓C經(jīng)過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1$，②
聯(lián)立①②，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）知，點A（0，-1）即為橢圓的下頂點，
∵△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形，
∴直線l與x軸平行，設(shè)直線l方程為y=t（-1＜t＜1），
則M（-2$\sqrt{1-{t}^{2}}$，t），N（2$\sqrt{1-{t}^{2}}$，t），
∵k_AM=-$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$，k_AN=$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$，
∴k_AM•k_AN=-$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$•$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$=-1，
解得：t=$\frac{3}{5}$或t=-1（舍），
∴直線l方程為：y=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查橢圓的定義及標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．