Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+m的最大值為2
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求f（x）的遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換可求函數(shù)解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，利用正弦函數(shù)的有界性即可得解．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得f（x）的遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+m=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
∴由題意可得：2=2+m+1，解得：m=-1．
（2）∵由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的遞減區(qū)間為：[kπ$+\frac{π}{6}$，k$π+\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題．