Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x-1）≤2；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，不等式2a-3≥f（ax）-af（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分當(dāng)x≤1時(shí)、當(dāng)1＜x≤2時(shí)、當(dāng)x＞2時(shí)三種情況，分別求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，利用絕對(duì)值三角不等式可得f（ax）-af（x）≤|a-1|，結(jié)合題意可得2a-3≥|a-1|，由此解得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等價(jià)于：當(dāng)x≤1時(shí)，-2x+3≤2，即

1

2

≤x≤1．
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，1≤2，即 1＜x≤2．
當(dāng)x＞2時(shí)，2x-3≤2，即2＜x≤

5

2

．
綜上所述，原不等式的解集為{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，f（ax）-af（x）=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|，
所以，2a-3≥|a-1|，解得a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．