Question

11．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，M、N分別為線段PB、PC上的點(diǎn)，MN∥BC．
（1）求證：平面PAD⊥平面PBC；
（2）若PA=AD，當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最小時(shí)，求三棱錐P-AMN與三棱錐P-ABC的體積之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）解：∵△ABC是正三角形，且D是BC中點(diǎn)
∴AD⊥BC，
又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵PA、AD在平面PAD內(nèi)且相交于A
∴BC⊥平面PAD
又BC在平面PBC內(nèi)，∴平面PAD⊥平面PBC．
（2）解：∵M(jìn)N∥BC，BC⊥平面PAD
∴MN⊥平面PAD，
設(shè)MN交PD于R，連結(jié)AR，則AR⊥MN，
∴AR是點(diǎn)A到直線MN的距離（10分）
在Rt△PAD中，當(dāng)AR⊥PD時(shí)，AR最小
∵M(jìn)N、PD都在平面PBC內(nèi)，∴AR⊥平面ABC
∵PA=AD，∴R是PD中點(diǎn)
故$\frac{{{V_{P-AMN}}}}{{{V_{P-ABC}}}}=\frac{{{V_{A-PMN}}}}{{{V_{A-PBC}}}}=\frac{{\frac{1}{3}×{S_{△PMN}}×AR}}{{\frac{1}{3}×{S_{△PBC}}×AR}}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判定以及空間幾何體的體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及體積公式是解決本題的關(guān)鍵．