Question

3．設(shè)定義在區(qū)間（-b，b）上的非常函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是奇函數(shù)，則a^b的范圍是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• D． [1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，b＞0，且f（-x）=-f（x），求得a=2，可得f（x）=lg$\frac{1+2x}{1-2x}$，故函數(shù)的定義域為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），0＜b≤$\frac{1}{2}$，從而求得a^b的范圍．

解答 解：根據(jù)定義在區(qū)間（-b，b）上的非常函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是奇函數(shù)，b＞0，且f（-x）=-f（x），
∴l(xiāng)g$\frac{1-ax}{1+2x}$=-lg$\frac{1+ax}{1-2x}$，即  lg$\frac{1-ax}{1+2x}$+lg$\frac{1+ax}{1-2x}$=lg（$\frac{1-ax}{1+2x}$•$\frac{1+ax}{1-2x}$ ）=0，∴$\frac{1{-a}^{2}{•x}^{2}}{1-4{•x}^{2}}$=1，∴a=2或a=-2（不合題意，舍去）．
故f（x）=lg$\frac{1+2x}{1-2x}$，故函數(shù)的定義域為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），0＜b≤$\frac{1}{2}$，∴1＜a^b≤$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的定義域以及值域，屬于中檔題．