Question

17．若拋物線x²=2py（p＞0）的焦點與橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$的上焦點重合．
（1）求拋物線方程；
（2）若AB是過拋物線焦點的動弦，直線l₁，l₂是拋物線兩條分別切于A，B的切線，證明：直線l₁，l₂的交點在拋物線的準線上．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓中的c，可得拋物線中的p，即可求拋物線方程；
（2）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，由斜截式寫出過焦點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點橫坐標的積，再利用導數(shù)寫出過A，B兩點的切線方程，然后整體運算可求得兩切線的交點的縱坐標為定值-1，從而得到兩切線交點的軌跡方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$中a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∵拋物線x²=2py（p＞0）的焦點與橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$的上焦點重合，
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴2p=4，
∴拋物線方程為x²=4y；
（2）由拋物線x²=4y得其焦點坐標為F（0，1）．
設A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
直線l：y=kx+1，代入拋物線x²=4y得：x²-4kx-4=0．
∴x₁x₂=-4…①．
又拋物線方程為：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
求導得y′=$\frac{1}{2}$x，
∴拋物線過點A的切線的斜率為$\frac{{x}_{1}}{2}$，切線方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁）…②
拋物線過點B的切線的斜率為$\frac{{x}_{2}}{2}$，切線方程為y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂）…③
由①②③得：y=-1．
∴l(xiāng)₁與l₂的交點P的軌跡方程是y=-1，即直線l₁，l₂的交點在拋物線的準線上．

點評 本題考查了軌跡方程，訓練了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了整體運算思想方法，是中檔題．