Question

15．已知函數(shù)f（x）=4^x+m•2^x+1（x∈（-∞，0]，m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=-1時，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=-1時，可得f（x）=）=4^x-2^x+1，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解值域即可．
（Ⅱ）f（x）有零點，利用分離參數(shù)m，討論單調(diào)性即可得m的取值范圍．

解答 解：當(dāng)m=-1時，可得f（x）=）=4^x-2^x+1，
令t=2^x，x≤0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域 t∈（0，1]．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）化為y=t²-t+1=$（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，t∈（0，1]．
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，y取得最小值為$\frac{3}{4}$；
當(dāng)t=1時，y取得最大值為1；
∴函數(shù)的值域為[$\frac{3}{4}$，1]；
（Ⅱ）f（x）有零點，即4^x+m•2^x+1=0有解（x∈（-∞，0]，
∴m=$-\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$．
∵t=2^x，t∈（0，1]．
∴m=$-t-\frac{1}{t}$=$-（t+\frac{1}{t}）$≤-2．（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，取等）
即m≤-2．
∴f（x）有零點，m的取值范圍是（-∞，-2]．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的運用，分離參數(shù)的求解范圍問題，屬于函數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題．