Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-2x+2（x∈R）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求證：x＞0時，e^x＞x²-2x+1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極小值，也為最小值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²+2x-1，通過導(dǎo)數(shù)求出g（x）的單調(diào)性，即可得到證明．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-2x+2（x∈R）．得f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=e^x-2=0得，x=ln2，
當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＞0；當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＜0，
故當(dāng)x=ln2時，f（x）有極小值也是最小值為f（ln2）=2（2-ln2）；
（2）證明：設(shè)．（x＞0），則g′（x）=e^x-2x+2，
由（1）知g′（x）=e^x-2x+2有最小值g′（ln2）=2（2-ln2），
于是對于x＞0，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上遞增，
而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，
即x＞0時，e^x＞x²-2x+1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式的證明，注意構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性證明，屬于中檔題．