Question

20．若關(guān)于x的多項(xiàng)式f（x）滿足：（x-1）²f（x）=x⁴+ax+b（其中a，b∈R），則ab=-12．

Answer 1

分析 因?yàn)樽罱K結(jié)果是x的4次方，所以f（x）肯定是一個(gè)關(guān)于x的最高次數(shù)是2次的一個(gè)多項(xiàng)式，設(shè)出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，代入計(jì)算，利用系數(shù)相等求出a，b的值即可．

解答 解：（x-1）²f（x）=x⁴+ax+b，
因?yàn)樽罱K結(jié)果是x的4次方，
所以f（x）肯定是一個(gè)關(guān)于x的最高次數(shù)是2次的一個(gè)多項(xiàng)式．
（x-1）²f（x）=（x²-2x+1）f（x），
設(shè)f（x）=tx²+mx+n，那么
（x²-2x+1）（tx²+mx+n）
=t（x²）²+mx³+nx²-2tx³-2mx²-2nx+tx²+mx+n
=t（x²）²+（m-2t）x³+（n-2m+t）x²+（m-2n）x+n，
∴t=1，m-2t=0，n-2m+t=0，
m-2n=a，n=b，
解得：t=1，m=2，n=3，a=-4，b=3
所以ab=-12，
故答案為：-12．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式代入得到相對應(yīng)的系數(shù)相等是解題的關(guān)鍵．