10．已知二項展開式（1+mx）10的系數(shù)單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍為0＜m＜$\frac{1}{10}$．

分析 利用二項式定理，結(jié)合二項展開式（1+mx）10的系數(shù)單調(diào)遞減，建立不等式，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：二項展開式（1+mx）10的系數(shù)為${C}_{10}^{r}•{m}^{r}$，
∵二項展開式（1+mx）10的系數(shù)單調(diào)遞減，
∴${C}_{10}^{r}•{m}^{r}$＞${C}_{10}^{r+1}$•mr+1，
∴0＜m＜$\frac{r+1}{10-r}$，
∵$\frac{r+1}{10-r}$=-1+$\frac{11}{10-r}$，r=0時，取得最小值$\frac{1}{10}$，
∴0＜m＜$\frac{1}{10}$，
故答案為：0＜m＜$\frac{1}{10}$．

點評 本題考查二項式定理的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

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