Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且過點P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=2截得的弦長為2，且與橢圓C相交于兩點A、B兩點，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且過點P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=2截得的弦長為2，確定m，k的關(guān)系，直線代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理、弦長公式，即可確定結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（2分）
∵點P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）在橢圓上，∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{3}}{^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．（4分）
（2）∵直線l被圓O截得的弦長為2，∴圓心O到直線l的距離d=1（15分）
因此，$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²（6分）
由直線l：y=kx+m代入橢圓方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$（8分）
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{6{k}^{2}（1+{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$≤$2\sqrt{3}•\frac{\frac{1+3{k}^{2}}{2}}{1+3{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)2k²=1+k²，即k=±1時，|AB|有最大值$\sqrt{3}$．（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．