Question

4．在三棱錐C-ABD中（如圖），△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，AB=4，二面角A-BD-C的大小為60°，并給出下面結(jié)論：
①AC⊥BD；  
②AD⊥CO；
③△AOC為正三角形；   
④cos∠ADC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
⑤四面體ABCD的外接球表面積為32π，
其中真命題是①③⑤．

Answer 1

分析 ①由△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，可得CO⊥BD，AO⊥BD，BD⊥平面AOC，即可判斷出正誤；
②假設(shè)CO⊥AD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且為60°矛盾，即可判斷出正誤；
③由已知可得：OC=OA，而∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且為60°，即可判斷出△AOC為正三角形；
④AB=4，由①可得：AC=OA=2$\sqrt{2}$，AD=CD=4，利用余弦定理可得cos∠ADC，即可判斷出正誤；
⑤由①可得：四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為2$\sqrt{2}$，利用表面積公式即可判斷出正誤．

解答 解：對于①，∵△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，∴CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，∴AC⊥BD，因此①正確；
對于②，假設(shè)CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且為60°矛盾，因此不正確；
對于③，由△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，∴OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且為60°，∴△AOC為正三角形，因此③正確；
對于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2$\sqrt{2}$，AD=CD=4，∴cos∠ADC=$\frac{2×{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2×{4}^{2}}$=$\frac{3}{4}$≠$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此不正確；
對于⑤，由①可得：四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為2$\sqrt{2}$，表面積S=$4π×（2\sqrt{2}）^{2}$=32π，因此正確．
綜上可得：只有①③⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點評 本題考查了空間線面位置關(guān)系、二面角、等邊三角形、余弦定理、球的表面積，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．