Question

15．已知a＞0，x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y-3≤0}\\{y≥a（x-3）}\end{array}}\right.$，若z=2x+y的最小值為$\frac{1}{2}$，則a=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即先確定z的最優(yōu)解，然后確定a的值即可．

解答 解：作出不等式對應的平面區(qū)域，（陰影部分）
由z=2x+y，得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，由圖象可知當直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線y=-2x+z的截距最小，此時z最�。�
即2x+y=$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即C（1，-$\frac{3}{2}$），
∵點A也在直線y=a（x-3）上，
∴-$\frac{3}{2}$=-2a，
解得a=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．