Question

15．已知a＞0，x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y-3≤0}\\{y≥a（x-3）}\end{array}}\right.$，若z=2x+y的最小值為$\frac{1}{2}$，則a=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即先確定z的最優(yōu)解，然后確定a的值即可．

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，（陰影部分）
由z=2x+y，得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-2x+z的截距最小，此時(shí)z最�。�
即2x+y=$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即C（1，-$\frac{3}{2}$），
∵點(diǎn)A也在直線y=a（x-3）上，
∴-$\frac{3}{2}$=-2a，
解得a=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．