Question

6．如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)A位于雙曲線的中心，頂點(diǎn)B位于該雙曲線的右焦點(diǎn)，∠ABC為60°，頂點(diǎn)D恰在該雙曲線的左支上，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由題意，設(shè)雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），則D（-c，$\sqrt{3}$c），代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{^{2}}=1$，確定a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），則D（-c，$\sqrt{3}$c），
代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{^{2}}=1$，
∴c²b²-3a²c²=a²b²，
∴c²（c²-a²）-3a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-5e²+1=0，
∴e²=$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定a，c的關(guān)系是關(guān)鍵．