Question

7．給出四個等式：1=1；1-4=-（1+2）；1-4+9=1+2+3；1-4+9-16=-（1+2+3+4）…．猜測第n（n∈N^*）個等式，并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

分析 由已知猜測：第n（n∈N^*）個等式為：1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1（1+2+…+n）=（-1）^n-1$\frac{n（n+1）}{2}$．利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 解：1=1；1-4=-（1+2）；1-4+9=1+2+3；1-4+9-16=-（1+2+3+4）…．
猜測第n（n∈N^*）個等式為：1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1（1+2+…+n）=（-1）^n-1$\frac{n（n+1）}{2}$．
下面利用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=1時，1=1，成立；
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，等式1-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=$（-1）^{k-1}•\frac{k（k+1）}{2}$成立．
則當n=k+1時，左邊=1-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²=$（-1）^{k-1}•\frac{k（k+1）}{2}$+（-1）^k•（k+1）²=（-1）^k$[（k+1）^{2}-\frac{k（k+1）}{2}]$=（-1）^k•$\frac{（k+1）[（k+1）+1]}{2}$=右邊，
∴當n=k+1時，等式成立．
綜上可得：第n（n∈N^*）個等式為：1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1（1+2+…+n）=（-1）^n-1$\frac{n（n+1）}{2}$成立．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法應用，考查了觀察分析猜想歸納能力與計算能力，屬于中檔題．