Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n=3a_n-1+3ⁿ⁺¹（n=2，3，4…）
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=3a_n-1+3ⁿ⁺¹、令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，計算、整理可得b_n+1-b_n=3，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知數(shù)列{b_n}的通項公式，利用b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$計算可得結(jié)論；
（3）通過=（3n-2）•3ⁿ寫出S_n、3S_n的表達(dá)式，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n=3a_n-1+3ⁿ⁺¹（n=2，3，4…），
令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，上式化為：
∴b_n=b_n-1+3，
即b_n+1-b_n=3，
∴數(shù)列{b_n}是公差為3的等差數(shù)列；
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）解：∵a₁=3，
∴b₁=$\frac{{a}_{1}}{3}$=1，
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=3ⁿ•b_n=（3n-2）•3ⁿ；
（3）解：∵a_n=（3n-2）•3ⁿ，
∴S_n=1•3¹+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ，
3S_n=1•3²+4•3³+7•3⁴+…+（3n-2）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2S_n=1•3¹+3•3²+3•3³+…+3•3ⁿ-（3n-2）•3ⁿ⁺¹=3+$\frac{{3}^{3}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（3n-2）•3ⁿ⁺¹
解得：S_n=（$\frac{9}{2}$n-$\frac{21}{4}$）•3ⁿ+$\frac{21}{4}$，
∴S_n=（$\frac{9}{2}$n-$\frac{21}{4}$）•3ⁿ+$\frac{21}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．