Question

3．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=$\frac{{3}^{n}}{2+{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*，兩邊取倒數(shù)可得變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$，
化為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-1\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$2×（\frac{1}{3}）^{n}$，
解得a_n=$\frac{{3}^{n}}{2+{3}^{n}}$．
故答案為：a_n=$\frac{{3}^{n}}{2+{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．