Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，PA=$\sqrt{3}$AD．
（1）在線段BC上求作一點(diǎn)G，使得平面EFG∥平面PAB；
（2）在（1）的條件下，求平面EFG與平面PCD所成的二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)G，得到EG∥PB，EF∥DC，EF∥AB，從而得到在線段BC上取點(diǎn)G，使得平面EFG∥平面PAB．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面EFG與平面PCD所成的二面角的大小為45°．

解答 解：（1）取BC中點(diǎn)G，則平面EFG∥平面PAB．
證明如下：
∵E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，G是BC中點(diǎn)，
∴EG∥PB，EF∥DC，
∵底面ABcD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥AB，
∵AB∩PB=B，EF∩EG=E，AB、PB?平面PAB，EF、EG?平面EFG，
∴在線段BC上取點(diǎn)G，使得平面EFG∥平面PAB．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵平面EFG∥平面PAB，∴平面EFG的法向量即平面PAB的法向量，即$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)PA=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，AB=t，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），C（t，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PC}$=（t，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=ta+\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
設(shè)平面EFG與平面PCD所成的二面角的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=45°，
∴平面EFG與平面PCD所成的二面角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明中，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．