Question

3．已知函數(shù)f（x）=ae^xlnx在x=1處的切線與直線x+2ey=0垂直
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：xf（x）＞1-5e^x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到斜率k=ae=2e，求出a的值即可；
（Ⅱ）等價(jià)于證明2xlnx+$\frac{5}{e}$＞$\frac{1}{{e}^{x}}$，令g（x）=2xlnx+$\frac{5}{e}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，再求出y=$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=a（e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$），
由已知y=f（x）在x=1處的切線的斜率k=ae，
∴f′（1）=ae=2e，解得：a=2；
（Ⅱ）要證明xf（x）＞1-5e^x-1，
即證明2xe^xlnx＞1-5e^x-1，x＞0，
等價(jià)于證明2xlnx+$\frac{5}{e}$＞$\frac{1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=2xlnx+$\frac{5}{e}$，∴g′（x）=2（lnx+1），
0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＜0，x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）=2xlnx在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{3}{e}$，
∵y=${（\frac{1}{e}）}^{x}$在（0，+∞）遞減，
∴${（\frac{1}{e}）}^{x}$＜${（\frac{1}{e}）}^{0}$=1，
∴g（x）≥$\frac{3}{e}$＞1＞$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∴xf（x）＞1-5e^x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線斜率問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．