Question

12．已知一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1cm，以它的對(duì)角線為邊作一個(gè)新的正方形，再以新的正方形的對(duì)角線為邊作正方形，這樣繼續(xù)下去，共作36個(gè)正方形，那么第六個(gè)正方形（包括已知正方形）的邊長(zhǎng)是$（\sqrt{2}）^{5}$，這6個(gè)正方形的面積和是63．

Answer 1

分析 由題意和等比數(shù)列的定義可知：各個(gè)、面積依次正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，分別求出首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求出答案．

解答 解：由題意得，各個(gè)正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)是1、公比是$\sqrt{2}$，
所以第六個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1×$（\sqrt{2}）^{5}$=$（\sqrt{2}）^{5}$，
各個(gè)正方形的面積依次依次構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)是1、公比是2，
所以這6個(gè)正方形的面積和S=$\frac{1-{2}^{6}}{1-2}$=63，
故答案為：$（\sqrt{2}）^{5}$；63．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，以及等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．