Question

20．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=0，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)G為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，由條件求得F、P、G共線，且PF=2PG，GF為三角形ABC的中位線．以BC所在的直線為x軸，以AG所在的直線為y軸，建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求得 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值．

解答 解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=0，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=-2（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），如圖：
設(shè)G為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，APCD、BECP為平行四邊形，
則有2$\overrightarrow{PF}$=-2（$\overrightarrow{PG}$），即$\overrightarrow{PF}$=-2$\overrightarrow{PG}$，
∴F、P、G共線，且PF=2PG，GF為三角形ABC的中位線．
以BC所在的直線為x軸，以AG所在的直線為y軸，建立坐標(biāo)系，
則點(diǎn)A（0，$\sqrt{3}$）、點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），
故AC的中點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由題意可得，$\overrightarrow{GP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
∴$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{1}{6}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{7}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-$\frac{1}{6}$×（-$\frac{7}{6}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{6}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）=-$\frac{2}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．