Question

7．設(shè)滿足方程（2alna-b）²+（c²-mc+3+d）²=0的點（a，b），（c，d）的運動軌跡分別為曲線M，N，若在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]內(nèi)，曲線M，N有兩個交點（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)m的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 4+2ln3
• C． e+2+$\frac{3}{e}$
• D． $\frac{1}{e}$+3e-2

Answer 1

分析 通過一個數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)可知曲線M：y=2xlnx、曲線N：y=-x²+mx-3，利用數(shù)形結(jié)合可知曲線N在x取e時y的值等于2elne=2e時m的值最大，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵（2alna-b）²+（c²-mc+3+d）²=0，
∴2alna-b=0，c²-mc+3+d=0，
依題意，曲線M：y=2xlnx，曲線N：y=-x²+mx-3，
其中曲線N可化為：y=-$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3，其圖象如圖，
要使在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]內(nèi)曲線M，N有兩個交點，
則必有曲線N在x取e時y的值需小于或等于2elne=2e，
故要使得m最大，只需2e=-e²+me-3，
解得：m=$\frac{{e}^{2}+2e+3}{e}$=e+2+$\frac{3}{e}$，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．