Question

9．△ABC中，tanA是以-4為第三項(xiàng)，-1為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，tanB是以$\frac{1}{2}$為第三項(xiàng)，4為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀為銳角三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出tanA和tanB，代入兩角和的正切公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得tanC的值，判斷出三個(gè)角的大小，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．

解答 解：設(shè)以-4為第三項(xiàng)，-1為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差為d
則d=$\frac{-1-（-4）}{7-3}=\frac{3}{4}$，即tanA=$\frac{3}{4}$；
設(shè)以$\frac{1}{2}$為第三項(xiàng)，4為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為q，
則q=$\root{3}{\frac{4}{\frac{1}{2}}}=\root{3}{8}=2$，即tanB=2．
則tan（A+B）=-tanC=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=\frac{\frac{3}{4}+2}{1-\frac{3}{4}×2}=-\frac{11}{2}$．
即tanC=$\frac{11}{2}$．
∴A，B，C均為銳角，則△ABC為銳角三角形．
故答案為：銳角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列及等比數(shù)列，其中根據(jù)已知分別求出三個(gè)角的正切值是解答的關(guān)鍵，是中檔題．