Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，a∈R，g（x）=e^x（其中e是自然數(shù)的底數(shù)）．
（1）記函數(shù)H（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，求H（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＞x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁-g（x₂））|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出$H（x）=\frac{{x}^{2}+ax+1}{{e}^{x}}$，然后求導(dǎo)數(shù)，討論a：a＞0，a＜0，和a=0，在每種情況里根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可求出函數(shù)H（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)條件可得到g（x₂）-g（x₁）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂），即得出$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{1}）+g（{x}_{1}）＞f（{x}_{2}）+g（{x}_{2}）}\\{f（{x}_{1}）-g（{x}_{1}）＜f（{x}_{2}）-g（{x}_{2}）}\end{array}\right.$對(duì)x₁，x₂∈[0，2]，x₁＞x₂恒成立，從而得出函數(shù)f（x）+g（x）和函數(shù)f（x）-g（x）在[0，2]上的單調(diào)性，從而得出對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而得出a≥-（e^x+2x）和a≤e^x-2x在[0，2]上恒成立，而根據(jù)單調(diào)性可分別求出函數(shù)-（e^x+2x）和函數(shù)e^x-2x在[0，2]上的最大、最小值，從而得出a的取值范圍．

解答 解：（1）$H（x）=\frac{f（x）}{g（x）}=\frac{{x}^{2}+ax+1}{{e}^{x}}$；
∴$H′（x）=\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-1}{{e}^{x}}=\frac{-（x-1+a）（x-1）}{{e}^{x}}$；
∴①當(dāng)a＜0時(shí)，1＜x＜1-a時(shí)，H′（x）＞0，x＜1，或x＞1-a時(shí)，H′（x）＜0；
∴H（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，1-a），減區(qū)間為（-∞，1），（1-a，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，1-a＜x＜1時(shí)，H′（x）＞0，x＜1-a，或x＞1時(shí)，H′（x）＜0；
∴H（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1-a，1），減區(qū)間為（-∞，1-a），（1，+∞）；
③當(dāng)a=0時(shí)，H′（x）≤0，H（x）的單調(diào)減區(qū)間為R；
（2）∵對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＞x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁-g（x₂））|成立；
根據(jù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞增；
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂）對(duì)x₁＞x₂且x₁，x₂∈[0，2]恒成立；
∴g（x₂）-g（x₁）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）對(duì)x₁，x₂∈[0，2]，x₁＞x₂恒成立；
即$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{1}）+g（{x}_{1}）＞f（{x}_{2}）+g（{x}_{2}）}\\{f（{x}_{1}）-g（{x}_{1}）＜f（{x}_{2}）-g（{x}_{2}）}\end{array}\right.$對(duì)x₁，x₂∈[0，2]，x₁＞x₂恒成立；
∴f（x）+g（x）在[0，2]上為增函數(shù)，f（x）-g（x）在[0，2]上為減函數(shù)；
∴①當(dāng)f′（x）+g′（x）≥0在[0，2]上恒成立時(shí)得：
2x+a+e^x≥0在[0，2]上恒成立；
∴a≥-（e^x+2x）在[0，2]上恒成立；
∵-（e^x+2x）在[0，2]上單調(diào)遞減，∴-（e^x+2x）在[0，2]上取得最大值-1；
∴a≥-1；
②當(dāng)f′（x）-g′（x）≤0在[0，2]上恒成立時(shí)得：
2x+a-e^x≤0在[0，2]上恒成立；
∴a≤e^x-2x在[0，2]上恒成立；
e^x-2x在[0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，2]上單調(diào)遞增；
∴e^x-2x在[0，2]上取得最小值2-2ln2；
∴a≤2-2ln2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，2-2ln2]．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，清楚導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，以及函數(shù)單調(diào)性的定義．