Question

4．某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤資料如下表：

商店名稱	A	B	C	D	E
銷售額x（千萬元）	3	5	6	7	9
利潤額y（千萬元）	2	3	3	4	5

（1）畫出散點(diǎn)圖；
（2）用最小二乘法計(jì)算利潤額y對銷售額x的線性回歸方程；
（3）當(dāng)銷售額為4.8（千萬元）時，估計(jì)利潤額的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的這一組數(shù)據(jù)，得到5個點(diǎn)的坐標(biāo)，把這幾個點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)圖可以看出，這兩個兩之間是正相關(guān)．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，寫出利用最小二乘法要用的量的結(jié)果，把所求的這些結(jié)果代入公式求出線性回歸方程的系數(shù)，進(jìn)而求出a的值，寫出線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，把x=4.8的值代入方程，估計(jì)出對應(yīng)的y的值．

解答 解：（1）根據(jù)所給的這一組數(shù)據(jù)，
得到5個點(diǎn)的坐標(biāo)（3，2），（5，3），（6，3），（7，4），（9，5），
把這幾個點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖．

（2）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+5+6+7+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2+3+3+4+5）=3.4，$\sum _{i=1}^{5}$x_i²=3²+5²+6²+7²+9²=200，$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=3×2+5×3+6×3+7×4+9×5=112，
∴$\hat$=$\frac{\sum _{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112-5×6×3.4}{200-5×6×6}$=0.5，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-$\hat$$\overline{x}$=3.4-0.5×6=0.4
∴回歸直線方程為$\hat{y}$=0.5x+0.4；
（3）當(dāng)x=4.8時，$\hat{y}$=0.5×4.8+0.4=2.8，
∴當(dāng)銷售額為4.8（千萬元）時，估計(jì)利潤額2.8千萬元．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，是一個基礎(chǔ)題，這種題目解題的關(guān)鍵是求出最小二乘法所要用到的量，數(shù)字的運(yùn)算不要出錯．