Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，n，等式f（m+n）=f（m）+f（n）恒成立；②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，且f（1）=-2．
（1）判斷函數(shù)f（x）在R上的奇偶性和單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差，利用所給恒等式進(jìn)行變形，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而證明出f（x）的單調(diào)性；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可．
（2）利用賦值先求出f（2），再求出f（4）得值，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且為減函數(shù)，繼而求出最值．

解答： 解：（1）函數(shù)為減函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又∵f（m+n）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
函數(shù)f（x）在是奇函數(shù)．
證明：令m=n=0代入條件，得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0
再令m=x，n=-x代入條件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)
（2）令m=n=1
得f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，
再令m=n=2
得f（4）=f（2）+f（2）=-4-4=-8，
∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（-4）=-f（4）=8，
∵函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上的最大值為，8，最小值為-8．

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，驗(yàn)證函數(shù)的特殊性質(zhì)并討論了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．著重考查了對(duì)弈的運(yùn)算法則、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．利用“賦值法”使抽象函數(shù)問題具體化，是解決這類問題的關(guān)鍵所在．