Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD且PO=6，M為BD的中點．
（1）證明：AD⊥平面PAC；
（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，從而證明AD⊥平面PAC．
（2）取DO中點N，連接MN，AN，由M為PD的中點，知MN∥PO，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（1）證明：∵PO⊥平面ABCD，且AD?平面ABCD，
∴PO⊥AD，
∵∠ADC=45°且AD=AC=1，
∴∠ACD=45°，
∴∠DAC=90° ，
∴AD⊥AC，
∵AC?平面PAC，PO?平面PAC，且AC∩PO=O，
∴由直線和平面垂直的判定定理知 AD⊥平面PAC．
（2）解：取DO中點N，連接MN，AN，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，
∵M為PD的中點，
∴MN∥PO，且MN=$\frac{1}{2}$PO=3，
AN=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ANM中，tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．