Question

7．已知函數(shù)$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx+cosx}）$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若$f（{\frac{θ}{2}}）=\frac{3}{4}$，θ∈R，求$f（{θ+\frac{π}{3}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大值
（2）利用$f（{\frac{θ}{2}}）=\frac{3}{4}$，建立關(guān)系，構(gòu)造思想，求$f（{θ+\frac{π}{3}}）$的值即可．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx+cosx}）$，x∈R．
化簡可得：$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx+cosx}）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$=$sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)$x=kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$時(shí)，$f{（x）_{max}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
（2）由（1）可得f（x）=$sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
∵$f（{\frac{θ}{2}}）=\frac{3}{4}$，
∴$sin（{θ+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，即$sin（{θ+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{4}$，
∴$f（{θ+\frac{π}{3}}）=sin（{2θ+\frac{5π}{6}}）+0.5=sin[{（{2θ+\frac{π}{3}}）+\frac{π}{2}}]+0.5=1.5-2{sin^2}（{θ+\frac{π}{6}}）$=$1.5-2×{（{\frac{1}{4}}）^2}=\frac{11}{8}$

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．