Question

已知f（x）=-

1

2

x²+（a+1）x-alnx．
（1）若a=2，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）可得結(jié)論．

解答： 解：（1）a=2，f（x）=-

1

2

x²+3x-2lnx，
∴f′（x）=-x+3-

2

x

=0（x＞0），可得（0，1），（2，+∞）上，f′（x）＜0，（1，2）上，f′（x）＞0，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值2.5，x=2時(shí)，函數(shù)取得極大值4-2ln2；
（2）f′（x）=-

(x-1)(x-a)

x

，
∴0＜a＜1時(shí)，可得（0，a），（1，+∞）上，f′（x）＜0，（a，1）上，f′（x）＞0，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，a），（1，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（a，1）；
a=1時(shí)，f′（x）＜0，∴單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
a＞1時(shí)，可得（0，1），（a，+∞）上，f′（x）＜0，（1，a）上，f′（x）＞0，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（a，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（1，a）；
（3）由（2）知a=1，f（x）是單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．