Question

在二項(xiàng)式（

1

2

+2x）ⁿ的展開(kāi)式中．
（Ⅰ）若第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅱ）若前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）由題意可得

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，求得n=7，或n=14．可得展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（Ⅱ）由

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=79，求得n=12，設(shè)二項(xiàng)式（

1

2

+2x）¹² 的展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則由

C k 12 •4k ≥C k-1 12 •4k-1 C k 12 •4k ≥C k+1 12 •4k+1

 求得k的值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）若第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則有

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，
求得n=7，或n=14．
當(dāng)n=7時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₄，T₅，且T₄=

C

3 7

•(

1

2

)4•（2x）³=

35

2

x³，T₅=

C

4 7

•(

1

2

)3•（2x）⁴=70x⁴．
當(dāng)n=14時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₈=

C

7 14

•(

1

2

)7•（2x）⁷=3432x⁷．
（Ⅱ）由于前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，即

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=79，求得n=12，
設(shè)二項(xiàng)式（

1

2

+2x）¹²=(

1

2

)12•（1+4x）¹²  的展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，
則有

C k 12 •4k ≥C k-1 12 •4k-1 C k 12 •4k ≥C k+1 12 •4k+1

，求得9.4＜k＜10，∴k=10，
即第11項(xiàng)的系數(shù)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬基礎(chǔ)題．