Question

利用單調(diào)性的定義，討論f（x）=

ax

x2-1

在（-1，1）上的單調(diào)性，a為實(shí)數(shù)且a≠0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，討論a，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，即可判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

解答： 解：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1；
則f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x12-1

-

ax2

x22-1

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

(x12-1)(x22-1)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x12-1＜0，x22-1＜0，x2-x1＞0，x₁x₂+1＞0；
∴若a＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
若a＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：考查單調(diào)性的定義，以及利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程．