Question

6．“a=1”是“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$為奇函數(shù)”的充要條件．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，解得a，進而判斷出答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{-x+1}$+$\frac{1}{-x-a}$=0，化為：（a-1）x²-（a-a²）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a-1=0}\\{a-{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得a=1．
此時f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$（x≠±1）是奇函數(shù)．
反之也成立，
因此“a=1”是“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-a}$為奇函數(shù)”的充要條件．
故答案為：充要．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．