Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，且a₁=1，則數(shù)列{a_n•a_n+1}的前10項的和S₁₀=$\frac{10}{11}$．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，且a₁=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項與公差都為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴a_na_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{a_n•a_n+1}的前10項的和S₁₀=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故答案為：$\frac{10}{11}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．