Question

4．（1）求證：對(duì)任意a，b∈R⁺，有$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，所有等號(hào)成立；
（2）利用（1）的結(jié)論，
①求證：$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c）；
②已知a，b∈R⁺，且a+b=1，求證：$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$$≤2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用先平方再作差，由完全平方公式，即可得證；
（2）①由于（1）的結(jié)論的變形：$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），再由累加法，即可得證；
②由（1）的結(jié)論的變形：a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，即可得證．

解答 證明：（1）對(duì)任意a，b∈R⁺，有
（$\frac{a+b}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2ab-2{a}^{2}-2^{2}}{4}$
=-$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取得等號(hào)．
則對(duì)任意a，b∈R⁺，有$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$；
（2）①由（1）可得，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b+c），
$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（c+a），
三式相加，可得，
$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取得等號(hào)；
②由（1）可得，$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤$\sqrt{2[（2a+1）+（2b+1）]}$
=$\sqrt{2（2a+2b+2）}$=$\sqrt{2×4}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$，取得等號(hào)．
即有$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$$≤2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差法和綜合法證明，同時(shí)考查累加法的運(yùn)用，屬于中檔題．