Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x．
（1）證明：當0≤x＜1時，e^x≤$\frac{1}{1-x}$；
（2）若函數(shù)h（x）=f（-x）+af（x）-4（a＞0是常數(shù)）在區(qū)間[-ln3，0）上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）構造函數(shù)g（x）=（1-x）e^x（其中0≤x＜1），從而求導證明；
（2）化簡h（x）=e^-x+ae^x-4（其中a＞0，-ln3≤x＜0）并求導h′（x）=-e^-x+ae^x，從而分類討論即可．

解答 （1）證明：設g（x）=（1-x）e^x（其中0≤x＜1），
g′（x）=（1-x）e^x-e^x=-xe^x，g′（x）≤0，
g（x）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞減；
所以g（x）≤g（0）=1，即（1-x）e^x≤1，
因為0≤x＜1，1-x＞0，
所以${e^x}≤\frac{1}{1-x}$．
（2）解：依題意，h（x）=e^-x+ae^x-4（其中a＞0，-ln3≤x＜0），h′（x）=-e^-x+ae^x，
解h′（x）=0得$x=-\frac{1}{2}lna$．
（�。┊�0＜a≤1時，$-\frac{1}{2}lna≥0$，h′（x）＜0在[-ln3，0）上恒成立，h（x）在[-ln3，0）上單調(diào)遞減，
h（x）在[-ln3，0）上有零點當且僅當h（-ln3）=0或h（0）h（-ln3）＜0，
解得a=3，與a≤1不符；
（ⅱ）當a≥9時，$-\frac{1}{2}lna≤-ln3$，h′（x）＞0在[-ln3，0）上恒成立，同理可求得h（x）在[-ln3，0）上無零點；
（ⅲ）當1＜a＜9時，$-ln3＜-\frac{1}{2}lna＜0$，h（x）在$[-ln3，-\frac{1}{2}lna]$上單調(diào)遞減，在$[-\frac{1}{2}lna，0）$上單調(diào)遞增，
h（x）在[-ln3，0）上有零點當且僅當$h（-ln3）h（-\frac{1}{2}lna）≤0$或$h（0）h（-\frac{1}{2}lna）≤0$，
解得3≤a≤4．
綜上所述，a的取值范圍為[3，4]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用．